Перпендикулярність

Перпендикулярність  —  бінарне відношення між різними об'єктами (векторами, прямими, підпросторами тощо) в евклідовому просторі. Окремий випадок ортогональності. Перпендикулярність прямих на площині

Дві прямі на площині називаються перпендикулярними, якщо при перетині вони утворюють  4 прямих кути.

В аналітичному вигляді прямі, задані лінійними функціями     

и  будуть перпендикулярними, якщо виконується умова . (Тут α₁,α₂ — кути нахилу прямої до горизонталі)

Перпендикулярність площин

Дві площини називаються перпендикулярними, якщо двогранний кут між ними дорівнює 90 градусам. Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні. Теорема 2. Через будь-яку точку прямої у просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих (див. рисунок). (Усі прямі лежать у площині, яка перпендикулярна до даної прямої і перетинає її у даній точці.)

Через будь-яку точку в просторі, що не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну. Це буде та перпендикулярна до даної прямої пряма, яка лежить у площині, визначеній даними прямою й точкою:

Зверніть увагу, що в просторі дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, не обов’язково паралельні між собою. На рисунку  ; .

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину (див. рисунок).

Теорема 3. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини (див. рисунок).

Зверніть увагу: якщо пряма перпендикулярна до однієї прямої площини, то цього не досить для перпендикулярності прямої і площини. На рисунку , але a не перпендикулярна до , зокрема a не перпендикулярна до с.

Теорема 4. Через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини, і тільки ¬одну. Теорема 5. Через дану точку площини можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї пряму. Теорема 6. Через дану точку прямої можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї площину. Теорема 7. Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести одну, й тільки одну, площину, перпендикулярну до даної прямої. Теорема 8. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої. На рисунку  ;  ; .

Теорема 9. Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої площини, паралельні.

   Перпендикулярність прямих у просторі

Дві прямі в просторі перпендикулярні між собою, якщо вони відповідно паралельні деяким іншим двом прямим, котрі знаходяться в цьому просторі і перпендикулярні між собою.

Перпендикулярність прямої та площини

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.

N 43*.  Дві площини перетинаються під кутом 30°. Точка A, яка лежить в одній із цих площин, віддалена від другої площини на відстань a. Знайдіть відстань від цієї точки до прямої перетину площин.

Нехай α і β - дані площини і A - точка, яка лежить у площині α (рис.139).

Опустимо перпендикуляр AO із точки A на площину β і перпендикуляр AA1 на пряму c, по якій перетинаються α і β. За теоремою про три перпендикуляри (3.5) OA1 ┴ c і AA1 ┴ c за побудовою. За теоремою 3.2 пряма c перпендикулярна до
площини трикутника. Отже, AA1O - кут між площинами α і β. Таким чином,  AA1O=30°. AO=a. Трикутник AOA1- прямокутний (кут AOA1 - прямий).

Відстань від точки A до прямої c дорівнює 2a.